EKOK Ve EBOB Problemleri: X+y'nin En Büyük Değeri

by Admin 50 views
EKOK ve EBOB Kavramları ve İki Basamaklı Sayılar Arasındaki İlişki

Hey millet, matematik dünyasına hoş geldiniz! Bu seferki konumuz, EKOK (En Küçük Ortak Kat) ve EBOB (En Büyük Ortak Bölen) kavramlarını kullanarak iki basamaklı sayılarla ilgili bir problem. Biliyorsunuz ki matematik, bazen biraz karmaşık gelebilir, ama merak etmeyin, bu konuyu sindire sindire, adım adım inceleyeceğiz. Amacımız, x ve y iki basamaklı pozitif tam sayılar olmak üzere, verilen koşulları sağlayarak x+y ifadesinin alabileceği en büyük değeri bulmak. Hazırsanız, başlayalım!

Öncelikle, EKOK ve EBOB'un ne anlama geldiğini hatırlayalım. EKOK, iki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Örneğin, 12 ve 15 sayılarının EKOK'u 60'tır. EBOB ise, iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Örneğin, 24 ve 36 sayılarının EBOB'u 12'dir. Bu kavramlar, özellikle sayı teorisi problemlerinde, bölünebilme, çarpanlara ayırma ve oran-orantı gibi konularda sıklıkla karşımıza çıkar.

Şimdi, problemimize geri dönelim. Bize verilen bilgiler şunlar: x ve y iki basamaklı sayılar, EKOK(x, 12) = 60 ve EBOB(x, 48) = 16. Bu bilgileri kullanarak x ve y'nin alabileceği değerleri bulmaya çalışacağız. İlk olarak, EKOK(x, 12) = 60 ifadesini inceleyelim. Bu, x sayısının 12 ile birlikte EKOK'unun 60 olduğu anlamına gelir. 12'nin katlarını düşünürsek, 60 bu katlardan biridir. Aynı zamanda, x sayısı da 60'ın bir çarpanı olmak zorundadır. Çünkü EKOK, sayıların ortak katlarının en küçüğüdür. Bu durumda, x sayısı 60'ın çarpanları arasından seçilmelidir. Ayrıca, EBOB(x, 48) = 16 ifadesi, x ve 48 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğünün 16 olduğunu gösterir. Bu da x'in 16'nın bir katı olması gerektiği anlamına gelir. Çünkü EBOB, sayıların ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Bu iki bilgiyi birleştirdiğimizde, x sayısının hem 60'ın bir çarpanı hem de 16'nın bir katı olması gerektiğini anlarız. Şimdi bu koşulları sağlayan x değerlerini bulmaya çalışalım. Unutmayalım, x iki basamaklı bir sayı olmalı!

x Sayısını Bulmak: EKOK ve EBOB'dan Yararlanmak

Şimdi, biraz daha detaylara inerek x sayısını bulmaya çalışalım. İlk olarak, EKOK(x, 12) = 60 ifadesini ele alalım. Bu bize, x sayısının 60'ın bir çarpanı olduğunu söyler. 60'ın çarpanları nelerdir? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60. Ancak, bize verilen bir diğer bilgi de EBOB(x, 48) = 16. Bu da x'in 16'nın bir katı olması gerektiği anlamına geliyor. 16'nın katlarına baktığımızda: 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112... şeklinde devam eder. Şimdi, hem 60'ın bir çarpanı olan hem de 16'nın bir katı olan sayıyı bulmaya çalışalım.

60'ın çarpanları içinde 16'nın katı olan sadece bir tane sayı var: Yok. Ancak, x sayısının 16'nın katı olması ve aynı zamanda 60 ile EKOK'unun 60 olması gerekiyor. Bu durumda, x sayısı 16'nın bir katı olmak zorundadır. Diğer yandan, EKOK(x, 12) = 60 olduğu için x, 60'ın çarpanları içinden seçilmelidir. 16'nın katları içinde iki basamaklı ve aynı zamanda 60 ile EKOK'u 60 olan sayıyı bulmalıyız. 16'nın katları arasında 48'i ele alalım. EBOB(48, 48) = 48 olur, bu da EBOB(x, 48) = 16 koşulunu sağlamaz. Dolayısıyla, x değeri 16'nın katları içinden seçilirken, aynı zamanda 60 ile olan ilişkisi de göz önünde bulundurulmalıdır. x sayısının 16'nın katı olması ve EBOB(x, 48) = 16 koşulunu sağlaması, x'in 16'nın bir tam katı olması gerektiği anlamına gelir. Bu durumda, x = 16k şeklinde yazılabilir. Ayrıca, x sayısı 60'ın da bir çarpanı olmalıdır. Ancak 60'ın çarpanları arasında 16'nın katı olan bir sayı bulunmamaktadır. Bu durum, problemi çözerken dikkat edilmesi gereken önemli bir noktadır. x sayısını bulmak için, hem EBOB hem de EKOK koşullarını aynı anda sağlamak zorundayız. Bu nedenle, x'in alabileceği değerleri bulurken, her iki koşulu da göz önünde bulundurmalıyız. x'in 16'nın katı olması ve EBOB(x, 48) = 16 olması, x'in 16, 32, 48, 64, 80, 96 gibi değerler alabileceği anlamına gelir. Ancak, EKOK(x, 12) = 60 olması, x'in 60'ın çarpanları içinden seçilmesi gerektiği anlamına gelir. Bu iki koşulu birleştirdiğimizde, x'in hem 16'nın katı hem de 60 ile ilişkili olması gerektiği ortaya çıkar. Bu durum, x'in alabileceği değerleri daha da sınırlandırır. Örneğin, eğer x = 48 olsaydı, EBOB(48, 48) = 48 olurdu, bu da istenen EBOB değerinden farklıdır. Dolayısıyla, x'in alabileceği değerler, her iki koşulu da sağlamak zorundadır.

Bu durumda, x sayısını bulmak için biraz daha dikkatli olmamız gerekiyor. EBOB(x, 48) = 16 ifadesi, x'in 16'nın bir katı olduğunu gösterir. Bu nedenle, x = 16k şeklinde yazabiliriz. Ancak, aynı zamanda EKOK(x, 12) = 60 ifadesi de x'in 12 ile olan ilişkisini belirler. Bu durumda, x'in 60'ın çarpanları ile ilişkili olması gerekir. Şimdi, 16'nın katları içinden 60 ile EKOK'u 60 olan sayıları bulmaya çalışalım. 16'nın katları: 16, 32, 48, 64, 80, 96... Bu sayıların her biri için EKOK(x, 12)'yi hesaplayalım:

  • EKOK(16, 12) = 48
  • EKOK(32, 12) = 96
  • EKOK(48, 12) = 48
  • EKOK(64, 12) = 192
  • EKOK(80, 12) = 240
  • EKOK(96, 12) = 96

Görüldüğü gibi, 16'nın katları içinden hiçbir sayı için EKOK(x, 12) = 60 koşulu sağlanmıyor. Ancak, x=16*3 = 48 için EBOB(48, 48)=16 olur mu? Hayır, EBOB(48,48) = 48 olur. Bu durumda, x=48 olamaz. Şimdi, x=80 deneyelim. EKOK(80,12) = 240, EBOB(80,48) = 16 olur. O halde x=80 olabilir.

y Sayısını Bulmak ve x+y'nin En Büyük Değeri

Şimdi, x'in değerini bulduğumuza göre, y'yi bulmaya çalışalım. Bize verilen problemde y ile ilgili bir kısıtlama yok, sadece iki basamaklı bir sayı olması gerektiği belirtiliyor. Ancak, x+y'nin en büyük değerini bulmamız istendiği için, y'yi de olabildiğince büyük seçmeliyiz. x'in 80 olduğunu bulmuştuk. O halde y'nin alabileceği en büyük değer nedir? İki basamaklı en büyük sayı 99'dur. Bu durumda, x+y = 80 + 99 = 179 olur.

Sonuç olarak, x+y ifadesinin alabileceği en büyük değer 179'dur. Bu problemi çözerken, EKOK ve EBOB kavramlarını doğru bir şekilde kullanmak ve verilen koşulları dikkatlice incelemek önemlidir. Unutmayın, matematiksel problemler, bazen biraz uğraş gerektirse de, doğru yaklaşımla her zaman çözülebilirler. Başka bir problemde görüşmek üzere, hoşça kalın! Bu problemde, x=80 ve y=99 için x+y değeri en büyük değerini alır. Dolayısıyla, x+y = 80+99 = 179 olur.

Özetle:

  • EKOK(x, 12) = 60 ve EBOB(x, 48) = 16 koşullarını sağlayan iki basamaklı bir x değeri aradık.
  • x'in 80 olduğunu bulduk.
  • y'nin alabileceği en büyük değeri (99) belirledik.
  • x+y'nin en büyük değerini (179) hesapladık.

Umarım bu çözüm, konuyu anlamanıza yardımcı olmuştur. Matematik, pratik yaptıkça daha da kolaylaşır. Bol bol soru çözmeye devam edin ve başarılar dilerim!