Integral De 3x^2 + 5x - 2: Cálculo Passo A Passo

Oct 29, 2025 by Admin 49 views

E aí, galera da matemática! Hoje a gente vai desmistificar um problemão que muita gente se enrola: calcular a integral de uma função, mais especificamente a f(x) = 3x^2 + 5x - 2. E não para por aí, vamos aplicar a propriedade distributiva pra dar aquela clareada e depois ainda calcular a integral definida em um intervalo específico. Se você tá naquela vibe de "socorro, matemática!", relaxa que eu tô aqui pra te ajudar a entender isso de um jeito super de boa, quase como um bate-papo. Vamos detonar essa questão e ainda descobrir qual das alternativas (A) 20, (B) 25, (C) 30 ou (D) 35 é a resposta certa.

Desvendando a Integral de f(x) = 3x^2 + 5x - 2

Pra começar, vamos falar sobre o que diabos é essa tal de integral. Pensa assim, se a derivada é tipo separar as coisas em pedacinhos menores, a integral é o contrário: a gente junta esses pedacinhos pra formar o todo de novo. É como pegar um monte de tijolos e construir uma parede, sacou? No nosso caso, a função é f(x) = 3x^2 + 5x - 2. Essa parada aí é um polinômio, ou seja, uma soma de termos com potências de x. E a propriedade distributiva, que a gente aprende lá atrás na escola, aqui na integral funciona de um jeito bem tranquilo. Em vez de pensar em multiplicar algo por toda a função, a gente pode simplesmente aplicar a integral a cada termo separadamente e depois somar os resultados. Ou seja, a integral de (3x^2 + 5x - 2) dx é a mesma coisa que a integral de 3x^2 dx mais a integral de 5x dx menos a integral de 2 dx. Essa é a mágica da propriedade distributiva na integral, gente! Isso simplifica demais a nossa vida, porque em vez de encarar um monstro, a gente tem três monstrinhos menores pra domar. Cada um desses monstrinhos é um termo com uma potência de x. Pra integrar um termo do tipo ax^n, a gente usa aquela regrinha de ouro: a gente pega o expoente (n), soma 1 a ele, e depois divide o coeficiente (a) por esse novo expoente (n+1). O resultado fica algo como a/(n+1) * x^(n+1). E não esquece daquela constante de integração, o famoso "+ C", que aparece nas integrais indefinidas pra lembrar que tem um monte de funções que, quando derivadas, viram a mesma coisa. No nosso caso, temos:

Integral de 3x^2 dx: Aqui, o 'a' é 3 e o 'n' é 2. Aplicando a regra, o novo expoente vira 2+1 = 3. E o coeficiente vira 3 / (2+1) = 3/3 = 1. Então, a integral de 3x^2 dx é 1*x^3, ou simplesmente x^3.
Integral de 5x dx: Nesse termo, o 'a' é 5 e o 'n' é 1 (lembra que x é a mesma coisa que x^1?). Então, o novo expoente é 1+1 = 2. E o coeficiente vira 5 / (1+1) = 5/2. A integral de 5x dx é (5/2)*x^2.
Integral de -2 dx: Aqui, o 'a' é -2 e o expoente do x é 0 (porque -2 é a mesma coisa que -2x^0). Então, o novo expoente é 0+1 = 1. E o coeficiente vira -2 / (0+1) = -2/1 = -2. A integral de -2 dx é -2x^1, ou simplesmente -2x.

Juntando tudo isso, a integral indefinida da nossa função f(x) = 3x^2 + 5x - 2 é F(x) = x^3 + (5/2)x^2 - 2x + C. Viu como a propriedade distributiva deixou tudo mais fácil? A gente quebrou um problema grande em três menores e resolveu cada um deles com a mesma regrinha básica. Agora que a gente já sabe a forma geral da integral, vamos partir pra parte mais legal: calcular a integral definida!

Calculando a Integral Definida: Do Ponto A ao Ponto B

Agora que a gente já manja como calcular a integral indefinida da nossa função f(x) = 3x^2 + 5x - 2, que resultou em F(x) = x^3 + (5/2)x^2 - 2x + C, vamos botar a mão na massa e calcular a integral definida nesse intervalo de 1 a 3. O que isso significa, galera? Significa que a gente não tá mais procurando por uma família de funções, mas sim pela área exata sob a curva dessa função entre os pontos x=1 e x=3. É tipo calcular o volume de um pedaço específico de um bolo, em vez de só saber a receita do bolo inteiro. Pra fazer isso, a gente vai usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que é tipo a chave mestra pra resolver integrais definidas. A ideia é simples: a gente calcula o valor da antiderivada (a nossa F(x), sem o '+C' porque ele se cancela nesse processo) no limite superior do intervalo (no nosso caso, x=3) e depois subtrai o valor da antiderivada no limite inferior (no nosso caso, x=1). Matematicamente, a gente escreve isso assim: ∫[de 1 a 3] f(x) dx = F(3) - F(1).

Vamos fazer isso passo a passo, com calma e sem pressa:

Calcular F(3): A gente vai substituir o 'x' na nossa antiderivada F(x) = x^3 + (5/2)x^2 - 2x por 3: F(3) = (3)^3 + (5/2)(3)^2 - 2(3) F(3) = 27 + (5/2)9 - 6 F(3) = 27 + 45/2 - 6 Pra facilitar as contas, vamos colocar todo mundo no mesmo denominador (que é 2): F(3) = (272)/2 + 45/2 - (6*2)/2 F(3) = 54/2 + 45/2 - 12/2 F(3) = (54 + 45 - 12) / 2 F(3) = (99 - 12) / 2 F(3) = 87/2
Calcular F(1): Agora, a gente substitui o 'x' na nossa antiderivada F(x) = x^3 + (5/2)x^2 - 2x por 1: F(1) = (1)^3 + (5/2)(1)^2 - 2(1) F(1) = 1 + (5/2)*1 - 2 F(1) = 1 + 5/2 - 2 Novamente, vamos pra denominador comum 2: F(1) = 2/2 + 5/2 - 4/2 F(1) = (2 + 5 - 4) / 2 F(1) = (7 - 4) / 2 F(1) = 3/2
Subtrair F(1) de F(3): Agora é a hora da verdade! A gente pega o resultado do F(3) e subtrai o resultado do F(1): Integral Definida = F(3) - F(1) Integral Definida = 87/2 - 3/2 Integral Definida = (87 - 3) / 2 Integral Definida = 84 / 2 Integral Definida = 42

Opa, espera aí! Deu 42. Será que eu errei alguma coisa ou as alternativas estão erradas? Vamos revisar rapidinho as contas. Refazendo F(3): 27 + 45/2 - 6 = 21 + 45/2 = 42/2 + 45/2 = 87/2. Certo. Refazendo F(1): 1 + 5/2 - 2 = -1 + 5/2 = -2/2 + 5/2 = 3/2. Certo. Subtraindo: 87/2 - 3/2 = 84/2 = 42. Parece que minhas contas estão certas. Vamos dar uma olhada nas alternativas de novo: A) 20 B) 25 C) 30 D) 35. Hummm, 42 não está entre as opções. Será que a pergunta original tinha um erro ou as alternativas estão trocadas? É, isso acontece bastante em provas, viu galera! Mas vamos supor que talvez eu tenha cometido um erro bobo em alguma parte da integral indefinida. Deixa eu conferir de novo a integral indefinida:

Integral de 3x^2 dx = x^3 (Correto)
Integral de 5x dx = (5/2)x^2 (Correto)
Integral de -2 dx = -2x (Correto)

Então F(x) = x^3 + (5/2)x^2 - 2x + C está correta.

Vamos refazer os cálculos de F(3) e F(1) com atenção redobrada, pois uma pequena distração pode nos levar a um resultado diferente.

Recalculando F(3): F(3) = (3)^3 + (5/2)(3)^2 - 2(3) F(3) = 27 + (5/2)*9 - 6 F(3) = 27 + 45/2 - 6 F(3) = 21 + 45/2 F(3) = 42/2 + 45/2 F(3) = 87/2

Recalculando F(1): F(1) = (1)^3 + (5/2)(1)^2 - 2(1) F(1) = 1 + 5/2 - 2 F(1) = -1 + 5/2 F(1) = -2/2 + 5/2 F(1) = 3/2

Recalculando a Integral Definida: Integral Definida = F(3) - F(1) Integral Definida = 87/2 - 3/2 Integral Definida = 84/2 Integral Definida = 42

Ok, minhas contas parecem estar consistentes e o resultado é 42. É possível que as alternativas fornecidas na pergunta original contenham um erro. No entanto, em um cenário de prova onde você precisa escolher uma alternativa, às vezes é preciso revisitar cada passo ou verificar se houve alguma interpretação errônea da questão. Vamos imaginar um cenário onde o número -2 fosse +2, só pra ver se chegamos perto de alguma alternativa. Se a função fosse f(x) = 3x^2 + 5x + 2, a integral indefinida seria F(x) = x^3 + (5/2)x^2 + 2x.

F(3) = 27 + 45/2 + 6 = 33 + 45/2 = 66/2 + 45/2 = 111/2
F(1) = 1 + 5/2 + 2 = 3 + 5/2 = 6/2 + 5/2 = 11/2
Integral = 111/2 - 11/2 = 100/2 = 50. Ainda longe.

Vamos tentar outra coisa. E se o intervalo fosse diferente? Ou se o coeficiente do x fosse diferente? A matemática é bem precisa, e um pequeno erro no enunciado ou nas alternativas pode mudar tudo. Vou fazer o cálculo mais uma vez, de forma bem metodológica, como se fosse a primeira vez.

A função é $f(x) = 3x^2 + 5x - 2$ . Queremos calcular $\int_{1}^{3} (3x^2 + 5x - 2) dx$ .

A integral indefinida (antiderivada) de $f(x)$ é $F(x) = \frac{3x^{2+1}}{2+1} + \frac{5x^{1+1}}{1+1} - \frac{2x^{0+1}}{0+1} + C$ . Simplificando: $F(x) = \frac{3x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - \frac{2x^1}{1} + C$ $F(x) = x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x + C$ .

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:

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