Masa Idéntica Y Tensión En Polea Sin Fricción

¡Hola, chicos! Hoy vamos a sumergirnos en un problema clásico de física que, aunque parezca sencillo, tiene sus matices. Hablamos de masas idénticas conectadas por una cuerda que pasa por una polea sin fricción. Imaginen dos objetos, cada uno con la misma masa m, unidos por una cuerda. Esta cuerda se desliza suavemente sobre una polea que no presenta ninguna resistencia al movimiento. Si este sistema está en reposo, ¿cuál es la tensión en esa cuerda? ¡Vamos a desglosarlo para que quede súper claro!

Entendiendo el Escenario: La Polea y las Masas

Primero, pongamos las cartas sobre la mesa. Tenemos dos masas idénticas, y para que no haya líos, las llamaremos masa A y masa B. Ambas tienen el mismo valor de masa, m. Están conectadas por una cuerda que es flexible y, lo más importante, inextensible (no se estira). Esta cuerda pasa por encima de una polea sin fricción. ¿Qué significa esto último? Significa que la polea gira libremente sin oponerse al movimiento de la cuerda. Es como si tuviéramos una rueda perfectamente lubricada. El sistema completo está en reposo, lo que nos da una pista clave sobre las fuerzas involucradas.

La gravedad está haciendo su trabajo, tirando de cada masa hacia abajo. Si las masas estuvieran solas, caerían. Pero aquí están unidas, y la polea es el intermediario. La tensión en la cuerda es esa fuerza que mantiene a las masas unidas y, a la vez, las sujeta. El hecho de que el sistema esté en reposo implica que la suma de las fuerzas sobre cada masa es cero. Esto es fundamental para resolver el problema. Si el sistema estuviera en movimiento, tendríamos que considerar la aceleración, pero como está quieto, todo se simplifica a un equilibrio de fuerzas.

Pensemos en cada masa individualmente. La masa A está sujeta a dos fuerzas principales: la fuerza de gravedad, que tira de ella hacia abajo (peso = m*g, donde 'g' es la aceleración debido a la gravedad), y la tensión de la cuerda que la jala hacia arriba. Lo mismo ocurre con la masa B: la gravedad tira de ella hacia abajo, y la tensión de la cuerda la jala hacia arriba. La cuerda, al pasar por la polea, transmite la tensión de un lado a otro. Si la polea fuera ideal (sin fricción y de masa despreciable), la tensión sería la misma en ambos extremos de la cuerda.

Ahora, la pregunta clave es: ¿cuál es esa tensión? Como el sistema está en reposo, cada masa está en equilibrio. Esto significa que la fuerza que tira de la masa hacia abajo (su peso) debe ser igual y opuesta a la fuerza que la jala hacia arriba (la tensión). Pero esperen, si la tensión fuera igual al peso de una masa (mg), ¿qué pasaría? Si la tensión es mg, entonces la fuerza neta sobre cada masa sería cero (tensión hacia arriba - peso hacia abajo = mg - mg = 0). Esto parece lógico, ¿verdad?

Sin embargo, hay un pequeño detalle a considerar. La polea está soportando el peso combinado de ambas masas, pero de una manera particular. La tensión en la cuerda no es solo para contrarrestar el peso de una masa, sino para mantener todo el sistema en equilibrio. Si imaginamos que cortamos la cuerda, cada masa empezaría a caer (o a subir, dependiendo de si estuviera sujeta a otras fuerzas, pero en este caso, solo la gravedad). La cuerda y la polea son las que evitan este movimiento.

El hecho de que las masas sean idénticas y que el sistema esté en reposo es la clave. Si las masas fueran diferentes, el sistema se movería (a menos que hubiera alguna otra fuerza actuando). Al ser idénticas y estar en reposo, la tensión que sube la masa A es la misma que la tensión que sube la masa B. Y la fuerza que tira de la masa A hacia abajo (su peso) es contrarrestada por la tensión. Igualmente, el peso de la masa B es contrarrestado por la tensión.

Así que, para cada masa m, la fuerza de gravedad que actúa sobre ella es F_g = m * g. La tensión en la cuerda, que actúa hacia arriba, la llamaremos T. Como cada masa está en reposo, la segunda ley de Newton ($\Sigma F = ma$) se simplifica a $\Sigma F = 0$ porque la aceleración (a) es cero. Para la masa A, esto significa: $T - F_{gA} = 0$, o $T = F_{gA}$. Para la masa B, $T - F_{gB} = 0$, o $T = F_{gB}$.

Dado que $F_{gA} = m*g$ y $F_{gB} = m*g$ (porque las masas son idénticas), obtenemos que la tensión $T$ debe ser igual a $m*g$. ¡Así de simple! La tensión en la cuerda es exactamente igual al peso de una de las masas.

Desglosando las Fuerzas: ¡Diagramas de Cuerpo Libre al Rescate!

Para visualizar esto mejor, chicos, ¡vamos a usar diagramas de cuerpo libre! Esto es súper útil en física. Imaginen que aislamos cada masa y la polea.

Para la Masa A:

• Tenemos la fuerza de gravedad $F_{gA}$ tirando hacia abajo. Su magnitud es $m imes g$.
• Tenemos la Tensión T de la cuerda tirando hacia arriba.

Como la masa A está en reposo, la suma de las fuerzas verticales debe ser cero: $\Sigma F_y = 0$. Esto se traduce en: $T - F_{gA} = 0$. Por lo tanto, $T = F_{gA}$. Dado que $F_{gA} = m imes g$, tenemos que $T = m imes g$.

Para la Masa B:

• De manera similar, tenemos la fuerza de gravedad $F_{gB}$ tirando hacia abajo. Su magnitud es $m imes g$.
• Tenemos la Tensión T de la cuerda tirando hacia arriba.

Como la masa B también está en reposo, la suma de las fuerzas verticales es cero: $\Sigma F_y = 0$. Esto se traduce en: $T - F_{gB} = 0$. Por lo tanto, $T = F_{gB}$. Dado que $F_{gB} = m imes g$, tenemos que $T = m imes g$.

¿Y la Polea?

Aunque la polea no añade fricción y su masa es despreciable, está soportando la tensión de ambos lados de la cuerda. La fuerza que la polea ejerce hacia abajo sobre su soporte (por ejemplo, el techo) sería la suma de las tensiones en ambos lados. Si ambas tensiones son $T = m imes g$, entonces la polea está soportando una fuerza total hacia abajo de $T + T = 2m imes g$. Pero esto no afecta la tensión dentro de la cuerda que une las masas. La tensión en la cuerda, que es lo que nos interesa, sigue siendo $m imes g$ en cada segmento que tira de una masa.

La clave aquí es que el sistema está en equilibrio. Si las masas fueran diferentes, digamos $m_1$ y $m_2$ con $m_1 > m_2$, la masa $m_1$ tendería a caer y la masa $m_2$ a subir. El sistema se movería con una aceleración. En ese caso, la tensión en la cuerda no sería igual al peso de ninguna de las masas individualmente. Sería un valor intermedio, necesario para que ambas masas tuvieran la misma aceleración (hacia abajo para $m_1$ y hacia arriba para $m_2$).

Pero en nuestro caso, con masas idénticas y en reposo, la situación es mucho más sencilla. La tensión simplemente contrarresta el peso de cada masa. Piénsenlo así: si cortaran la cuerda en cualquier punto, cada masa está